Proyecciones Ortogonales, Traslaciones, Rotaciones, Simetria Axial

1.  PROYECCIONES ORTOGONALES.

            Estas proyecciones son aquellas cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano o recta de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados. El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta son importantes en muchas ramas de matemática y física.

            Un ejemplo de ésta proyección son los Teoremas de las Relaciones Métricas en el triangulo, mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.

            Existen tres grandes planos de proyección: de perfil, vertical y horizontal. La intersección de estos planos se produce en ángulos de noventa, formando diversos cuadrantes. Todos los objetos, por lo tanto, se pueden proyectar en estos cuadrantes.

TIPOS DE PROYECCIONES ORTOGONALES EN UN PLANO.

 a) Proyecciones Ortogonales de un punto: La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .

                                                  

b) Proyecciones Ortogonales de un segmento:

·         Si el segmento dado AB no es paralelo la recta L, la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.

           

                                              

·         Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.

                                                

      

·         Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.

                                          

·         Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.

                             

            Para obtener las proyecciones ortogonales de un objeto se dan los siguientes pasos.

·         Se sitúa el objeto de forma que sus caras sean paralelas o perpendiculares al plano del papel.

·         Se observa el objeto de forma que las líneas visuales pasen por sus vértices, incidiendo perpendicularmente sobre el plano de proyección, tal y como muestra la figura de la derecha.

·         Para obtener el alzado, se elige el punto de vista que permita observar más detalles del objeto. Por ejemplo, en un coche, una vista desde el frente.

·          Para obtener la planta, se gira 90º hacia arriba respecto a la posición anterior. En el caso de un coche, la planta se obtendría mirando el coche desde arriba.

·         Por último, para obtener el perfil, se parte de nuevo de la posición desde la que se ha obtenido el alzado y se gira 90º hacia la izquierda. En un coche, el perfil coincidiría con la vista desde un lateral.

                                         

2. TRASLACIONES.

            Las traslaciones pueden definirse como los movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. La traslación no es más que la idea natural de “cambio de una posición a otra de una figura en una dirección, sentido y magnitud determinados conservando la forma y medidas de la figura.”

                                       

Cada punto de la figura se mueve:

• La misma distancia.
• En la misma dirección.      

                                                 

Ejemplo: Si quieres decir que una figura se mueve 30 unidades en la dirección "X" y 40 unidades en la dirección "Y", escribimos:

Esto nos dice que "todas las coordenadas “X” e “Y” se convierten en x+30 e y+40".

                                       

TIPOS DE TRASLACIONES.

a) Traslación de una Recta: Es cuando una recta se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela, y la distancia del punto y su imagen al eje de reflexión es la misma. Además el segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de reflexión.

            b) Traslación de una Circunferencia: Se dice que la homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio, que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN.

·         Toda traslación es una isometría directa.

·         Toda traslación transforma rectas en rectas paralelas a ellas.

·         Los elementos dobles de la traslación son las rectas paralelas del vector.

·         Una traslación queda determinada si conocemos un punto del plano y su imagen.

3. ROTACION.

            La rotación no es más que el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanecen fijo.

            Adicionalmente la rotación son transformaciones lineales que conservan las normas (es decir, son isométricas) en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior y cuya matriz tiene la propiedad de ser ortogonal y de determinante igual a ±1. Si el determinante es +1 se llama rotación propia y si es −1, además de una rotación propia hay una inversión o reflexión y se habla de rotación impropia.

                        Se puede decir entonces, que un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular, el cual es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo “gira sobre sí mismo”.

            La rotación también puede ser oscilatoria, como por ejemplo, en el péndulo. Los giros son completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta.

            Un ejemplo de rotación es el de la Tierra alrededor de su propio, la cual posee  un período de rotación de un día sidéreo.

                                      

            TEOREMA DE ROTACIÓN DE EULER.

            El teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.

                                        

            5. SIMETRÍA AXIAL Y CENTRAL.

            a) La simetría axial: es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.

            La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

            Ejemplo:

                       

b)        Simetría Central: Es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

            a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

            b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

            Ejemplo:

                        

ANÁLISIS DE LA INVESTIGACIÓN.

            Como análisis de todas estas herramientas en esta investigación, se puede concluir que son muy importantes para la vida cotidiana, tanto para las empresas, industrias, hogares, entre otros, ya que nos muestran una representación gráfica de un objeto con vistas y ángulos diferentes. Existen una gran cantidad de planos de proyecciones como de perfil, vertical y horizontal, todos ellos produciendo  ángulos de 90 grados, es decir, ángulos rectos, formando diversos cuadrantes. Son muy utilizadas en las ramas del dibujo técnico, ingeniería, etc.

            Estas proyecciones permiten descubrir, en cada una de las vistas que se llevan a cabo, unas propiedades o características del objeto que no se pueden percibir en otra. Así, por ejemplo, en una se pueden conocer la anchura y la longitud y en otra, por ejemplo, lo que es la profundidad. Por ejemplo, en la industria son indispensables, debido a que se necesitan conocer todas las perspectivas de un objeto antes de iniciar su fabricación.

COMPRENSIÓN.

            Se puede decir que todos estos movimientos estudiados con isométricos, ya que poseen movimientos en sus proyecciones, es decir, son transformaciones que se realizan a un objeto con diferentes vistas u orientaciones. 

Elaborado por: Carnevali Oscar y Fernandes Diego.

Colegio Roraima-Miranda.